der erste teil, cheese-, bedarf keiner erklärung. aber was ist eigentlich (-)burger?

der ursprung von burger ist im wort hamburger zu suchen. dies bezeichnete ursprünglich ganz einfach eine speise, die aus hamburg (DE) kommt, so wie die wienerwürste auch wiener oder die frankfurter würste frankfurter, bzw. in der schweiz frankfurterli heissen. dieses wort hamburger wurde dann ins englische entleht. dort hat man es offensichtlich nicht mehr mit der stadt hamburg assoziiert, sondern man glaubte engl. ham ‘Schinken’ darin zu sehen. dass dies ziemlich absurd war, da ein hamburger gar keinen schinken enthält, hat offenbar niemanden gestört. durch die neuinterpretation von ham- in hamburger musste das hinterglied, –burger, das generelle konzept dieser speise bezeichnen, d.h. ein ‘warmes sandwich’. dies machte in der folge neubildungen wie cheeseburger möglich, und burger ist heute im englischen auch als simplex geläufig.

die neuinterpretation von hamburger als kompositum ham-burger ist eine klassische volksetymologie.

das hinterglied des ortsnamens hamburg ist natürlich mit nhd. burg identisch, d.h. dass der cheeseburger rein etymologisch gesehen eigentlich ‘(die speise aus der) käsestadt, käseburg’ sein müsste.

referenz
kluge, f. und seebold, e.: etymologisches wörterbuch der deutschen sprache. berlin 2002. 24. auflage.